A bele és a köréírt sokszögek oldalszámát növelve a két sokszög területe között a különbség bármilyen kicsivé tehető, és ez a kör területét azaz r 2 π -t adja. Így tehát a kúp térfogata:
\( V_{kúp}=\frac{t_{kör}·m_{kúp}}{3} \) , azaz \( V=\frac{r^2· π ·m}{3} \)
Arkhimédész gyakorlatilag a fenti módszert (kimerítés módszerét) alkalmazta mind a henger, mind a gömb, mind a kúp térfogatának meghatározásánál. Egyik legszebb felfedezésének tartotta, hogy az egyenlő oldalú henger a beleírt gömb és kúp térfogatainak aránya:
Kúp felszíne térfogat
A szárak által bezárt szög a kúp nyílásszöge. Az $\alpha $-val jelölt nyílásszög felének kiszámításához bármelyik szögfüggvényt felhasználhatjuk. Például a szög szinusza a sugár és az alkotó hányadosa. A keresett nyílásszög ${49, 3^ \circ}$. Foglaljuk össze, mik az egyenes kúppal kapcsolatos legfontosabb tudnivalók! Ismerjük a térfogatát, a felszínét. Tudjuk, hogy a magasság, az alkotó és az alapkör sugara derékszögű háromszöget alkot. Ennek a háromszögnek az egyik hegyesszöge a fél nyílásszög. A kiterített palást középponti szöge összefüggést teremt az alkotó és az alapkör sugara között. Matematika 12., Alkotószerkesztő: Dr. Hajdu Sándor, Műszaki Kiadó, 2012. 126-129. oldal.
A matematikában a kúp (idegen szóval kónusz) gúlaszerű térbeli test. A kúp alapja kör vagy ellipszis, palástját a csúcsot az alap határpontjaival összekötő egyenes szakaszok, az alkotók uniója alkotja. Megkülönböztethetünk egyenes és ferde kúpokat aszerint, hogy a csúcs merőleges vetülete az alapra egybeesik-e az alap középpontjával. Kúp alatt leggyakrabban az egyenes, kör alapú kúpokat értik. A kúpot az alapjával párhuzamos síkkal elmetszve csonka kúpot kapunk. Képletek [ szerkesztés]
A kúpoknak létezik térfogata és felszíne. [1]
Térfogat [ szerkesztés]
Jelölje a kúp alapjának a területét, s legyen a magassága. Ekkor a térfogat az alábbiak szerint számítható:
Speciálisan, ha a kúp kör alapú, akkor -rel jelölve a kör sugarát, így részletezhető a formula:
A másik esetben, ha az alap elliptikus, akkor pedig az ellipszis sugarait és szimbólumokkal jelölve a következőképpen:
Felszín [ szerkesztés]
A kúp felszíne az alap és a palást területének összege. Az egyenes, köralapú kúp esetében erre adható egyszerű képlet:
ahol a kúp egy alkotójának hossza, képlete:
Ez a Pitagorasz-tétel egyenes következménye.
Okostankönyv
8) képlet alapján:
A teljes csonkakúp-felszín:
Feladatok
1. Egy forgáshenger alakú tartály alapkörének átmérője 4, 8 m.
Milyen magasan áll benne folyadék? A henger alapkörének sugara, ezért alapterülete. Mivel a folyadékoszlop térfogata, ha magassága,, ebből
2. Egy 12 dm átmérőjű, 2 m magasságú henger alakú hordó
vízszintesen fekszik és így a víz 3 dm magasan áll benne. Mennyi víz van a
hordóban? 15. 8. ábra - 2. feladat A hordóban levő víz alakja geometriailag egy olyan 20 dm magasságú
henger, amelynek alapja az alapkör egy szelete (15. A körszelet területének kiszámításához figyeljük meg, hogy a víz
magassága éppen a sugár felével egyenlő, s ezért ábránkon az egyenlő szárú
háromszöget a magassága két olyan derékszögű háromszögre vág, amelynek
átfogója az egyik befogó kétszeresével egyenlő; az ilyen háromszög viszont egy szabályos
háromszög felezésével jön létre, s így az, azaz az
körcikk éppen a kör harmada, az háromszög területe viszont az
oldalú szabályos háromszög területével egyenlő (l. a 14.
- Sürgősen kerestetik: Kisgyermeknevelő - 60 aktuális Kisgyermeknevelő munkák | Jooble
- Led szalag méretre vágása
- Kültéri kamera szett vezeték
- A kívülálló sorozat online
- Kúp felszíne térfogata kalkulátor
- Kúp – Wikipédia
- Kúp felszíne és térfogata feladatok
(Az alábbi ábrán látható a gúla, valamint a síkba kétféle módon is kiterített felülete. ) Ezért nem kell külön-külön kiszámítani minden egyes háromszögnek a területét, hanem csak egynek. Ha a kapott eredményt megszorozzuk a (megfelelő, egybevágó) háromszögek számával, akkor megkapjuk a palást területét. T(p) = n ∙ T(Δ)
A = T(a) + n ∙ T(Δ)
A képletben szereplő területekről az alábbi bejegyzésekben olvashat részletesen:
– síkidomok kerülete;
– síkidomok területe;
– szabályos sokszög kerülete, területe. A kúp felszíne
Vizsgáljuk meg a kúp felületét! Észrevehetjük, hogy áll egy alaplapból, ami jelen esetben egy kör, valamint a palástból, tehát a felszínét kiszámíthatjuk a gúlánál felírt általános képlettel:
A = T(a) + T(p). Az alábbi ábrán láthatjuk a kúpot, valamint a felületét kiterítve a síkba. A palást kiterítve egy körcikket határoz meg. Használjuk fel tehát a kör, valamint a körcikk területére vonatkozó ismereteinket! A kör területe nem más, mint
T(a) = r² ∙ π. A körcikk területének meghatározásához azt a szemléletet használhatjuk fel, hogy hasonlít egy (egyenlő szárú) háromszögre, melynek alapja a körcikk körívének a hossza, a magassága pedig megegyezik a körcikkhez tartozó kör sugarával, ami egyben a kúp alkotója.
Ezt határozott integrállal számítja ki, ahol a határok 0 és h:
Így jut az ismert
képlethez. A kúppalást felszíne [ szerkesztés]
Az egyenes körkúp palástja görbült, de kiteríthető körcikké. Ennek sugara megegyezik a kúp alkotójának hosszával (a). A körcikk α középponti szöge arányegyenlettel számítható: a középponti szög úgy aránylik a teljesszöghöz, mint az alapkör 2π r kerülete az a sugarú kör teljes kerületéhez:
ahol a kúp alkotója és a körcikk sugara. A kúppalást felszíne eszerint a körcikk területképletéből adódóan
Jegyzetek [ szerkesztés]
↑ Hajós, György. Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Budapest: Tankönyvkiadó (1979). ISBN 9631747360
↑ Strohmajer János: Geometriai példatár II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1982. 21. oldal 38-as feladat. Források [ szerkesztés]
Frank András: Operációkutatás
Spinning Cone from Math Is Fun
Paper model cone
Lateral surface area of an oblique cone
Generalized Cone from Wolfram MathWorld
Külső hivatkozások [ szerkesztés]
Weisstein, Eric W. : Kúp (angol nyelven).
- Exatlon hungary 12 adás 2
- Harkány fürdő